细品教材
一、对数函数
1.概念：一般地，我们把函数y=log_ax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，y是x的函数.
2.定义域、值域：对数函数的定义域是(0，+∞)，值域是实数集R.
技术提示
一个函数为对数函数的条件是：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的正常数；(3)自变量为正数，即只有形如y=log_ax(a＞0，a≠1，x＞0)的函数才叫做对数函数.像y=log_a(x+1)，y=2log_ax，y=log_ax+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数，而是一些复合函数，我们可以称其为对数型函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数.
【示例】求下列函数的定义域.
(1)；(2).
思路分析：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，对数函数的定义域的求解要注意对数的性质.
解：(1)要使函数有意义，必须且只需
∴函数的定义域为（0，0.4］.
(2)要使函数有意义，必须且只需
∴函数的定义域为(1，2).
二、对数函数的图象和性质
对数函数y=log_ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

技术提示
(1)对数函数的图象恒在y轴右方，其单调性取决于底数；
(2)设y₁=log_ax，y₂=log_bx，其中a＞1，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1.在x轴上方，当x＞1时，底大图低，即若a＞b，则y₁＜y₂；当0＜x＜1时，底大图高，即若a＞b，则y₁＞y₂.
【示例】图2.2.2-1中曲线是对数函数y=log_ax的图象，已知a值取，，，，则相应于C₁，C₂，C₃，C₄的a值依次为（    ）

图2.2.2-1
A.
B.
C.
D.
思路分析：因为对数的底数越大，函数图象越远离y轴的正方向，所以C₁，C₂，C₃，C₄的a值依次由大到小，即C₁，C₂，C₃，C₄的a值依次为.
另外过点(0，1)作平行于x轴的直线，与C₁，C₂，C₃，C₄的交点的横坐标，即为各对数底的值.
答案：A
三、对数函数的反函数
1.对数函数的反函数：指数函数y=a^x(a＞0且a≠1)与对数函数y=log_ax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
2.互为反函数的有关性质：(1)原函数的定义域、值域恰好是反函数的值域、定义域；(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
3.指数函数与对数函数特征对比：
由于指数函数与对数函数互为反函数，所以它们的许多特征都是相似的，现将它们列表对比如下：

技术提示
通常当一个函数在定义域内单调时，可由下面的步骤求出其反函数：
(1)由y=f(x)解出x；(2)把x替换为y，y替换为x，得反函数解析式；(3)写出解析式的定义域(即为原函数的值域).
状元笔记
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x².一般来说，单调函数有反函数.
【示例】求函数的反函数.
思路分析：要求的反函数，需从中求出x，得.因2^x＞0，则，求得原函数的值域即反函数的定义域.把指数式化成对数式可得反函数.
解：由，得2^x(y-1)=y+1.①
∵y≠1，∴.∵2^x＞0，∴，解得y＞1，或y＜-1.
故反函数的定义域是{x|x＞1或x＜-1}.
由①式，得.
所求的反函数为 (x＜-1或x＞1).

归纳整理
本节的主要内容是对数函数的概念、图象和性质及其反函数.重点是理解对数函数及其反函数的关系，掌握对数函数的图象和性质，并能根据图象、性质解决相关问题，特别是其单调性的应用，是解决问题的关键点.

答案：①y=log_ax(a＞0，且a≠1)  ②(0，+∞)  ③增  ④减  ⑤指数函数y=a^x(a＞0，且a≠1)  ⑥y=x
 
综合探究
1.对数函数值的变化规律
在同一坐标系中，画出y=log₃x，，y=log₂x，的图象如图2.2.2-2.从图中可以看到：所有图象都跨越第一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是(1，0).当a＞1时，图象向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点(1，0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小，在点(1，0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；当0＜a＜1时，图象向上与y轴的正半轴无限靠拢，在点(1，0)的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大，在点(1，0)的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小.

图2.2.2-2
我们知道，对于对数函数y=log_ax，当y=1时，x=a，而a恰好是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y=1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小.同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log₂3＜log_1.53，log₂0.5＜log₃0.5，log_0.52＞log_0.62等.
2.如何比较对数的大小
利用其性质可以比较两对数式的大小，常用的方法是：当底数相同真数不相同时，直接利用对数函数的单调性进行比较，即a＞1时，在(0，+∞)上是增函数，0＜a＜1时，在(0，+∞)上是减函数；
当底数不相同，真数相同时，可根据图象与底数的关系所反映出的规律进行比较，当底数和真数各不相同时，可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较，通过第三个数的传递进而比较出两数的大小.当底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
对于多个数的大小比较，通常先找出(-∞，0)、(0，1)、(1，+∞)中的各数，然后把位于同一区间中的数再进行比较.
3.反函数的拓展
定义：设A、B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y=f(x)所解得的x=φ(y)也是一个函数(即对任意的一个y∈B都有唯一的x∈A与之对应).那么就称x=φ(y)是函数y=f(x)的反函数；记作x=f^-1(y)，在x=f^-1(y)中，y是自变量，x是y的函数，但在习惯上把上式改写成y=f^-1(x)(x∈B，y∈A)的形式.
如求函数y=3x+6(x∈R)的反函数，从y=3x+6中解出(y∈R)，这样函数y=3x+6(x∈R)的反函数为(x∈R).
由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域.
判断一个函数是否存在反函数可从以下两点进行：
(1)从函数观点来看，就是由式子y=f(x)解出x，得x=φ(y)后，看对于值域内任意一个y的值，由式子x=φ(y)是否能确定定义域内有唯一的x值与之对应.
(2)用图象来判断，就是看函数y=f(x)的图象与任意一垂直于y轴的直线是否至多只有一个交点.
根据以上两点，我们可以得到两个非常有用的结论，即：①单调函数必有反函数；②图象关于y轴对称的函数不存在反函数.
 
思考发现
1.求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.
2.对数函数y=log_ax(a＞0，a≠1)的图象，可根据它与指数函数y=a^x(a＞0，a≠1)的图象关于直线y=x对称来画，即用找对称点作对称图形的方法.也可以用列表、描点、连线的方法来画.首先要分清底数a＞1还是0＜a＜1，明确图象的走向，然后至少要画出三个关键点：()，(1，0)，(a，1)，最后连线.当然画出的点越多，所画图象越准确.
3.利用对数的单调性可解简单的对数不等式.解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件.
若log_af(x)＞log_ag(x)，则当a＞1时，
当0＜a＜1时，
4.比较两个数或式子的大小时，常用的方法是作差法.用作差法比较大小时，若数或式子含有绝对值时需先去掉绝对值符号.用函数的观点研究方程问题时，方程解的个数就是两个函数图象交点的个数，方程的解就是两个函数图象交点的横坐标.