细品教材
一､弧长公式
弧长公式
中的三个量
,n,R,知道其中任意两个量,就可求出第三个量.注意n参与计算时不带单位,､R单位要一致.
在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2
R,所以1°的圆心角所对的弧长为
=
.由此可得n°的圆心角所对的弧长公式: .
(1)已知弧长和圆的半径R时,就能求出这段弧所对的圆心角的度数为
.
(2)已知弧长和圆心角的度数n时,就能求出这段弧所在圆的半径
.
当问题涉及多个未知量时,可利用相关等量关系列方程求解.
【示例】如图24.4-1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=20°,以C为圆心,CA长为半径的圆交AB于点D,若AC=6,求
的长.
图24.4-1
思路分析:要求弧长,就要知道弧所在的圆的半径和这条弧所对的圆心角的度数.因为半径已知,所以只需求出这条弧所对的圆心角,这由直角三角形和圆的半径相等可得.
解:连接CD.∵∠B=20°,∠ACB=90°,
∴∠A=90°-20°=70°.
∵CA=CD,
∴∠A=∠CDA=70°.
∴∠ACD=180°-2×70°=40°.
∴的长=
=
=
.
二､扇形面积公式
在半径为R的圆中,因为圆心角为360°的扇形面积就是圆的面积S=R2,所以圆心角是1°的扇形面积为
.由此可得圆心角是n°的扇形面积公式:
S扇形=
.
比较扇形面积公式和弧长公式,可得扇形面积另一个公式:
S扇形=
R.
这个扇形面积公式与三角形面积公式有些类似,只需把扇形看成一个曲边三角形,把弧长看成底,半径R看成高,这样既可以类比识记,又可以类比运用.
在计算扇形面积时,要分情况选用公式:当已知扇形的圆心角和扇形的半径时,选用S扇形=;当已知扇形的弧长和扇形的半径时,选用S扇形=R.
【示例】如图24.4-2,有一直径是1的圆形铁皮,要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC,求剪掉的阴影部分面积.
图24.4-2
思路分析:要求阴影部分面积,需求扇形ABC的面积,要求扇形ABC的面积,关键是求半径AB.
解:连接BC.∵∠A=90°,
∴BC是⊙O的直径.
∵AB=AC,由勾股定理,得
AB=AC=
.
∴S阴影=S圆-S扇形ABC
= ()2-
×()2=
.
三､圆锥的侧面积和全面积
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的.我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线;连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,可知圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径就是圆锥的母线长,扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.如图24.4-3,由此可得圆锥的侧面积公式和全面积公式:
S侧=×2r×=r.
S全=S侧+S底=r+r2.
图24.4-3
圆锥的母线､圆锥的高h､底面圆的半径r正好构成一个直角三角形,如图24.4-3,由这个直角三角形可得三个关系式:①=
;②h=
;③r=
.这些关系式在解题中经常用到.
提醒注意:(1)掌握好弧长公式和扇形面积公式是正确计算圆锥侧面积和全面积的关键;
(2)在运用圆锥的侧面积公式和全面积公式计算时,谨防把圆锥的底面半径当作它的侧面展开图(扇形)的半径.
【示例】如图24.4-4,小红要制作一个高4 cm,底面直径是6 cm的圆锥形小漏斗,若不计接缝,不计损耗,则她所需纸板的面积是( )
图24.4-4
A.15 cm2
B.6
cm2
C.12 cm2
D.30 cm2
思路分析:因为圆锥的侧面积公式是S侧=×底面圆的周长×母线.
根据题意和由勾股定理得母线为
=5.
于是可得S侧=×2×3×5=15 (cm2).
答案:A
归纳整理
本节有关圆中的计算问题包括三个方面:一是运用弧长公式计算相关问题;二是运用扇形面积公式计算相关面积问题;三是圆锥的侧面积和全面积计算问题.运用弧长公式和扇形面积公式计算相关问题是本节重点,求不规则图形的面积是本节难点.
答案:①圆心角所对的弧 ②底面圆周上任意一点③= ④S扇形=或S扇形=R ⑤S全=r+r2