细品教材
一､圆的有关概念
1.圆的定义的两种表述如下:
第一种:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.
第二种:圆心为O､半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
3.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.弧有劣弧与优弧之分:小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
4.等圆和等弧:能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
比较圆的两种定义可知:第一种是从圆的形成过程进行描述的;第二种是运用集合的观点下的.虽然定义的角度不同,但都说明:确定了定点与定长,也就确定了圆.
5.圆是轴对称图形，有无数条对称轴。又是中心对称图形。还是旋转对称图形。
6.同心圆：同一平面上，同一圆心而半径不同的圆。
【示例】有下列六种说法:
①半径确定了,圆就确定了;②圆心确定了,圆就确定了;③直径是弦;④弦是直径;⑤半圆是弧,但弧不一定是半圆;⑥长度相等的两条弧是等弧.
其中错误说法的个数是(  )
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析:根据圆､直径､弦､半圆､等弧等概念来判断.半径确定了,只能说圆的大小确定了,但位置没有确定;圆心确定了,只能说圆的位置确定了,但圆的大小并没确定;直径是弦,但弦不一定是直径;等弧是指在同圆或等圆中能够互相重合的弧.所以①②④⑥的说法是错误的.
答案:D
二､垂径定理
1.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
由上面的垂径定理,可知垂径定理可改述为:一条直线,若满足:①过圆心;②垂直于弦,则可推出:③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
由此得到启示:如果一条直线具有这五条性质中的两条,就可推出另外三条性质.
利用垂径定理可以证明:①线段相等;②线段互相垂直;③弧长相等.还可以利用垂径定理求圆的半径.
垂径定理是由圆的对称性得出的,任何一条直径都是它的对称轴.这里的垂径可以是直径,也可以是半径,还可以是过圆心且垂直于弦的直线或线段.
【示例】如图24.1-1,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是__________.

图24.1-1
思路分析:由垂径定理可知,要求AB,只需求得AD即可,连接AO,在Rt△AOD中,由勾股定理可求得AD.
答案:6
三､弧､弦､圆心角、弦心距之间的关系
一般我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆心到弦的距离叫做弦心距。
圆心的弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
圆不仅是轴对称图形,而且是中心对称图形,同时还是旋转对称图形.由于“圆具有绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合”的性质,所以可利用圆的旋转性质得出圆中的弧､弦､圆心角之间有如下关系定理:
1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.
3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
在应用上述关系解决相关问题时,要根据需要选用,如“在等圆中,相等的圆心角所对的弦相等”.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等，所对的圆心角也相等。三者有一个相等，则其他两个都相等。
【示例】如图24.1-2,在⊙O中, ,∠B=70°,则∠A=__________.

图24.1-2
思路分析:由,得这两条弧所对的弦AB=AC,所以∠B=∠C.因为∠B=70°,所以∠C=70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数.
答案:40°
四､圆周角
圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
根据圆周角的定义,在识别圆周角时,要抓住两点:一是顶点在圆上,二是两边都与圆相交.少了一个条件,就不是圆周角.
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
圆周角定理的推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系.“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否则就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两个.
【示例1】 如图24.1-3,弦AB､CD相交于点E,∠A=40°,∠AEC=75°,则∠B=__________.

图24.1-3
思路分析:因为∠B与∠C都是所对的圆周角,所以只需求出∠C的度数,问题便可得解.在△AEC中,已知∠A=40°,∠AEC=75°,所以可求∠C.
答案:65°
【示例2】 如图24.1-4,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠B=50°,CD⊥AB,则∠ACD=__________.

图24.1-4
思路分析:由AB为⊙O的直径,可知∠ACB=90°.所以∠A+∠B=90°.由CD⊥AB,可知∠A+∠ACD=90°.所以∠ACD=∠B.
解:50°
五､圆内接多边形的有关概念及性质
1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.
利用圆内接四边形的性质,一是可以证明有关圆中两个角的互补关系;二是可以证明有关图形中比较隐蔽的角的相等关系.
提醒注意:不是所有的多边形都有外接圆,三角形和四边形有外接圆,正多边形有外接圆,其余的多边形就不一定有外接圆.
【示例】如图24.1-5,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,求∠BAD和∠BCD的度数.

图24.1-5
思路分析:由∠BOD=100°,易求∠BAD;因为ABCD是⊙O的内接四边形,所以由圆内接四边形的对角互补可求∠BCD的度数.
解:∵∠BOD=100°,∴∠BAD=50°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BCD=130°.
 
归纳整理
本节内容比较多,主要包括下列两个方面:一是圆的有关概念,如圆的直径､弦､弧(劣弧､优弧)､半圆等;二是圆的有关性质,其性质有四个方面:一是圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;二是垂径定理;三是弧､弦､圆心角之间的关系;四是同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系.本节内容的重点是圆的有关性质,难点是对垂径定理及其推论的理解,学习本节内容的关键要抓住圆是轴对称图形的性质.

答案:①旋转一周 ②圆心 ③都与圆相交 ④弦所对的两条弧